УДК 532.5
О неэквивалентности лагранжевого и эйлерового описания движения сплошной среды
Выскребцов В.Г.
Московский политехнический университет.
Москва. Россия.
email: vyskrebtsov2016@yandex.ru
Аннотация: в статье сравниваются лагранжев и эйлеров подходы для описания движения сплошной среды. В итоге автор приходит к выводу, что при использовании эйлерова подхода упускается из виду тот факт, что частицы жидкости, втекающие и вытекающие в противоположные стороны дифференциально малого воображаемого прямоугольного шестигранника могут быть разными, а в этом случае к ним неприменим закон Ньютона о силах инерции, т.к. в нём считается, что рассматриваемая частица должна быть одна и та же. Отсюда автор делает вывод, что уравнения Навье-Стокса, при выводе которых используется подход Эйлера, может описывать только такие течения жидкости и газа, траектории движения которых не имеют кручения, т.е. описываются плоскими кривыми.
Ключевые слова: сплошная среда, уравнения Навье-Стокса, дифференциально малый прямоугольный шестигранник, радиус кривизны, кручение кривой.
Считается, что при описании свойств сплошной среды (жидкостей и газов) применение лагранжевого и эйлерового подхода эквивалентно [1]. Однако это не всегда так, что можно показать на примере вывода уравнений движения сплошной среды (уравнений Навье-Стокса). Можно пояснить, что при способе Эйлера рассматривается скорость среды в данной точке пространства, а при подходе Лагранжа рассматривается положение жидкой частицы.
Рассмотрим силы, действующие на жидкую частицу с использованием подхода Л.Эйлера [2]. Если, используя подход Эйлера, выделить воображаемый объём сплошной среды в виде параллелепипеда с прямолинейными гранями dx, dy и dz (см. рис. 1), то его главный и центральный момент инерции относительно оси 0z, проходящей через центр тяжести параллельно грани а, будет равен
Здесь ρ – плотность среды. Если обозначить через dl длину характерного размера указанного дифференциально малого параллелепипеда, то его момент инерции dJzz будет иметь пятый порядок малости, т.е. пропорционален dl5.
Вместе с тем, как это можно показать при рассмотрении дифференциально малого (элементарного) прямоугольного параллелепипеда (см. рис. 1), крутящий момент, действующий на грани параллелепипеда за счёт касательных напряжений, будет иметь четвёртый порядок малости.
Рис. 1. Дифференциально малый прямоугольный параллелепипед.
Для этого в соответствии с учебником для вузов
Н.З. Френкеля [3] рассмотрим
касательные напряжения 
, действующие на гранях
дифференциально малого элементарного параллелепипеда ньютоновской среды. Стороны
параллелепипеда параллельны соответствующим осям локальной декартовой
прямоугольной системы координат 0xyz. Тогда крутящий
момент dMzz относительно си 0z, действующий на элементарный параллелепипед, описывается следующими
соотношениями
Если теперь, как и ранее, обозначить через dl длину характерного размера указанного дифференциально малого параллелепипеда, то из написанного ясно, что порядок малости крутящего момент dMzz относительно си 0z имеет четвёртый порядок малости.
Аналогично записываются главные и центральные моменты инерции и крутящие моменты относительно осей 0x и 0y
Эти величины образуют систему уравнений вращательных движений малого параллелепипеда:
где ωx, ωy, ωz и t – соответственно угловые скорости малого параллелепипеда и время.
Поскольку в этих уравнениях крутящие моменты и моменты инерции имеют разный порядок малости, то из него в рамках уравнений Навье–Стокса невозможно получить конечные значения для угловых скоростей вращения малого параллелепипеда.
Таким образом, изложенное позволяет сделать вывод, что описанный подход к рассмотрению дифференциально малого параллелепипеда сплошной среды, основанный на уравнений Навье–Стокса, в принципе не позволяет найти уравнение связи для сил инерции вращения и внутренних касательных напряжений частиц сплошной среды. Вследствие этого уравнения Навье–Стокса не должны описывать траектории движений частиц сплошной среды, имеющих вращение и кручение.
Тот же вывод получается из рассмотрения особенностей траекторий движения частиц сплошной среды, обладающих кручением. Для этого опять рассмотрим [1] дифференциально малый прямолинейный прямоугольный шестигранник, через грани которого идёт поток сплошной среды (см. рис.2).
Радиус-вектор точки траектории жидкой частицы можно выразить в виде степенного ряда (в виде натурального уравнения) при условии, что в этой точке находится начало локальной системы координат (вершина трёхгранника Френе) и в начальной точке значение радиуса-вектора и локальная длина кривой Δs равны нулю [4]:
Здесь r(s) – радиус-вектор точки траектории, Δs – величина
приращения длины траектории дуги траектории, r(0) – радиус-вектор в начальной точке, 
– его первая производная,
а 
– вторая тоже в начальной
точке. Это разложение можно записать, используя локальный базис с направляющими
векторами (i, j, k), причём начало координат находится в точке s = 0. Используя естественные координаты и вышеприведённое выражение для
радиуса-вектора, можно записать выражение для
радиуса-вектора в виде [4]:
Здесь R и χ означают радиус кривизны траектории и значение её величины кручения
соответственно. Таким образом в общем случае траектории движения частиц
сплошной среды лежат в трёх измерениях. Это приводит к выводу, что частицы
среды, втекающие через грань «0264» по нормали, это линии тока, которые имеют вращение
1/R и кручение χ и поэтому частицы среды из точки
«0» при движении попадают не в точку «1», а в точку «1*»,
отстоящую от оси 0x на расстоянии 
по оси 0y и на расстоянии 
по оси 0z, как это показано на рис.2.
 |
Рис.2. Иллюстрация положения траектории жидкой частицы траектория которой имеет кручение, втекающей в грань «0264» и вытекающей через боковую грань.
Поэтому все частицы, вытекающие между ребром «02» и параллельной ему линией «а–а» не могут быть частицами, выходящими через грань «1375» именно вследствие геометрических причин, поскольку линии тока не являются координатными линиями.
Сказанное верно не только для материальных частиц, втекающих через грань «0264», но и через, например, грань «0154». Поэтому, поскольку частицы сплошной среды, втекающие в элементарный малый прямоугольный прямолинейный шестигранник и вытекающие из него, являются разными, то к массе среды, ограниченной элементарным шестигранником, неприменим закон движения Ньютона, т.к. он справедлив лишь только для материальных тел с постоянной массой [5]. В общем случае, когда материальные частицы двигаются по траекториям, не перпендикулярным плоскости 0xy, а, например, по траекториям, пересекающими плоскость «0145» высказанное утверждение о различности частиц в пределах шестигранника становится очевидным. Отметим ещё, что переход от прямоугольной декартовой системы координат к цилиндрической системе или к сферической системе координат не меняет сделанного вывода вследствие того, что указанные системы координат используют в качестве координатных линий только плоские линии, не имеющие кручения (с кручением, равным нулю).
Таким образом уже при выводе уравнения движения по принципу Л. Эйлера оказывается, что при этом могут быть описаны только такие течения, траектории движения частиц, которых не имеют кручения.
Но положение меняется, как это можно показать, если рассмотреть криволинейный дифференциально малый ортогональный шестигранник, у которого координатные линии могут иметь кручение.
1. Пахомов М.А., Терехов В. И. Сравнение эйлерова и лагранжева описаний при исследовании течения и теплообмена в газокапельном осесимметричном отрывном турбулентном потоке // Прикл. мех. техн. физ., 2013. Том 54. Вып. 4. С.96–108.
2. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. Издание четвёртое. Москва. Наука, 1973. 784 с.
3. Френкель Н.З. Гидравлика. Учебник для вузов. М.- Л.: Госэнергоиздат, 1956. 456 с.
4. Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. М.: Наука, 1963. 176 с.
5. Hutte. Справочник для инженеров, техников и студентов. 1936. Том 1. 1185 с.
On the Non-equivalence of the Lagrangian and Eulerian Descriptions of the Motion of a Continuous Medium.
Vyskrebtsov V.G.
Moscow Polytechnic University, Moscow, Russia.
vyskrebtsov2016@yandex.ru
http://vyskrebtsov.su
http://vyskrebtsov.ru
https://vk.com/vyskrebtsov
This article compares the Lagrangian and Eulerian approaches to describing the motion of a continuous medium. Ultimately, the author concludes that the Eulerian approach overlooks the fact that fluid particles flowing in and out of opposite sides of a differentially small imaginary rectangular hexagon may be different, in which case Newton's law of inertial forces is inapplicable to them, since It assumes that the particle under consideration must be the same. From this, the author concludes that the Navier-Stokes equations, derived using Euler's approach, can only describe liquid and gas flows whose trajectories are torsion-free, i.e., described by plane curves. Keywords: continuous medium, Navier-Stokes equations, differentially small right-angled hexahedron, radius of curvature, curve torsion.