О точных аналитических решениях уравнений Навье–Стокса

Выскребцов В.Г. к.т.н., доцент, Московский университет машиностроения «МАМИ»

Университет машиностроения «МАМИ», Москва, Россия, ул. Б. Семеновская, 38.

Рассматривается метод нахождения точных решений уравнений движения вязкой сплошной среды (уравнений Навье–Стокса). Метод состоит в применении локальной системы ортогональных криволинейных координат (с позиции Лагранжа, а не Эйлера). В итоге этого уравнения движения элементарной жидкой частицы записываются через производные скорости и радиусы кривизны ортогональной сети линий, одно из семейств которой образуют линии тока. Кроме того, выводится правило перекрёстного некоммутативного дифференцирования вдоль криволинейных линий ортогональной сети. При таком подходе уравнение неразрывности оказывается пропорцией между производной от скорости течения и скоростью течения, что можно рассматривать как формулу понижения порядка дифференцирования. Исключая значение давления с помощью перекрёстного дифференцирования, получаем дифференциальное уравнение, названное «основным». Дифференцируя это уравнение вдоль линии тока и понижая затем его порядок, получаем второе уравнение того же типа, что и «основное». Сравнивая коэффициенты  двух этих уравнений получаем соотношения между радиусами кривизны ортогональной сети,  которые  и определяют возможные точные решения уравнений Навье–Стокса. Из проведённого анализа следует, что возможные точные решения этих уравнений могут иметь лишь плоские или осесимметричные траектори..

Ключевые слова: Уравнения Навье–Стокса, точные решения, траектории течения, сплошная среда..

                       

Единственным аналитическим уравнением движения частиц сплошной среды является (в векторном виде) так называемое уравнение Навье–Стокса. Это уравнение получено по принципу, впервые использованному Л. Эйлером, который для этого рассматривал криволинейный воображаемый прямоугольный параллелепипед сплошной среды, имеющий массу, на грани которого действуют нормальные силы (силы внутреннего давления), а также силы тяжести. В результате были получены (для трёх координат) три уравнения в частных производных без учёта свойства вязкости. В дальнейшем Навье и Стокс ввели (соответственно в 1821 г. и в 1845 г.) в рассмотрение силы вязкости, действующие не перпендикулярно граням параллелепипеда, а параллельно им, при условии, что величина этих сил (касательных напряжений) пропорциональна градиенту изменения скорости движения точек сплошной среды [1]. Среда с такими свойствами, которые, как это считается, отражает свойства реальных жидкостей (таких как вода, органические минеральные масла и многие другие), получила название Ньютоновской жидкости. При описанном подходе оказывается, и далее это будет доказано, что невозможно учесть моменты кручения, действующие на рассматриваемую жидкую частицу.

Помимо указанного подхода Л. Эйлера, возможен и другой, впервые указанный Лагранжем. Принципиальная разница между ними состоит в том, что при подходе Л.Эйлера используется неподвижная, общая для всех частиц движущейся сплошнойчастицы. среды система координат, а при подходе Лагранжа используется система координат, связанная с рассматриваемой частицей. Различие между указанными подходами аналогично различию при получении данных о состоянии атмосферы путём использования наземных метеостанций и при использовании шаров-зондов [2].

Далее, в основном, будет применяться подход Лагранжа, причём в качестве координатных линий принимаются криволинейные линии тока, а также семейство линий, ортогональных к линиям тока. В качестве третьего семейства координатных линий используются линии, ортогональные к линиям первых двух семейств. Начало такой системы естественных локальных координат всегда находится в точке траектории рассматриваемой частицы и при её перемещении перемещается вместе с ней.

Вначале рассмотрим силы, действующие на жидкую частицу с использованием подхода Л.Эйлера [3]. Если рассмотреть, используя подход Эйлера, воображаемую частицу сплошной среды в виде параллелепипеда с прямолинейными гранями а, b и c, то момент инерции этого параллелепипеда относительно оси 0х, проходящей через его центр тяжести параллельно грани а будет равен: J = M (a² + b²)/12. Здесь М – масса среды, ограниченной параллелепипедом, определяемая как произведение плотности среды на объём частицы. Поэтому, если по прежнему обозначить через l длину характерного размера указанного дифференциально малого параллелепипеда, то его момент инерции J будет иметь пятый порядок малости, т.е. пропорционален l⁵.

Вместе с тем, как это можно показать при рассмотрении дифференциально малого (элементарного) прямоугольного параллелепипеда, крутящий момент, действующий на грани параллелепипеда за счёт касательных напряжений, будет иметь четвёртый порядок.

Рис. 1. Дифференциально малый прямоугольный параллелепипед.

Для этого в соответствии с учебником для вузов Н.З.Френкеля [3] рассмотрим касательные силы, действующие на гранях дифференциально малого элементарного параллелепипеда  с прямолинейными сторонами δx, δy и δz, которые параллельны соответствующим осям декартовой прямоугольной системы координат 0xyz (рис.1). Обозначим через δТ_i силы трения, действующие на гранях параллелепипеда. Тогда проекции этих сил на оси координат (поскольку среда ньютоновская) будут равны:

;

;

;

.

Здесь  – касательные напряжения на гранях параллелепипеда. Проекции остальных сил на ось 0х равны нулю, т.к. их направления перпендикулярны к оси проекции. Отсюда равнодействующая касательных сил, образующая вращающий момент относительно оси 0х, равна:

.

Если теперь, как и ранее, обозначить через l длину характерного размера указанного дифференциально малого параллелепипеда, то из написанного ясно, что порядок малости равнодействующей касательных сил имеет малость третьего порядка, и соответственно сам вращающий момент имеет четвёртый порядок малости, т.е. l⁴.

Таким образом, изложенное позволяет сделать вывод, что описанный подход к рассмотрению дифференциально малого параллелепипеда сплошной среды в принципе не позволяет найти уравнение связи для сил инерции вращения и внутренних касательных напряжений частиц сплошной среды. Вследствие этого уравнения Навье–Стокса не должны описывать траектории движений частиц сплошной среды, имеющих кручение. Т.е. они могут описывать в силу особенностей вывода этих уравнений только плоские траектории (не имеющие кручения).

Тот же вывод вытекает и из рассмотрения особенностей траекторий движения частиц сплошной среды, обладающих кручением. Для этого опять рассмотрим дифференциально  малый прямолинейный прямоугольный шестигранник, на грани которого действуют внешние силы – рис.2 [1].

Рис.2.

Частицы среды, втекающие через грань «0246», имеют линии тока, которые имеют кручение χ. Поэтому частицы среды из точки «0» при движении попадают не в точку «1», а в точку 1*, отстоящую от плоскости 0xy на расстоянии . Все частицы, втекающие между ребром «02» и параллельной ему линией «а–а» не могут быть частицами, выходящими через грань «1357» именно вследствие геометрических причин, поскольку линии тока не являются координатными линиями.

Сказанное верно не только для материальных частиц, втекающих через грань «0246», но и через, например, грань «0145». Поэтому, поскольку частицы сплошной среды, втекающие в элементарный малый прямоугольный прямолинейный шестигранник и вытекающие из него, являются разными, то к массе среды, ограниченной элементарным шестигранником, неприменим закон движения Ньютона, т.к. он справедлив лишь только для материальных тел с постоянной массой [5]. В общем случае, когда материальные частицы двигаются по траекториям, не перпендикулярным плоскости 0xy, а, например, по траекториям, пересекающими плоскость «0145» высказанное утверждение о различности частиц в пределах шестигранника становится очевидным. Отметим ещё, что переход от прямоугольной декартовой системы координат к цилиндрической системе или к сферической системе координат не меняет сделанного вывода вследствие того, что указанные системы координат используют в качестве координатных линий только плоские линии, не имеющие кручения (с кручением, равным нулю).

Таким образом уже при выводе уравнения движения по принципу Л.Эйлера оказывается, что при этом могут быть описаны только такие течения, траектории движения частиц которых не имеют кручения.

Но положение меняется, если рассматривать криволинейный дифференциально малый ортогональный шестигранник «01234567», у которого координатные линии могут иметь кручение (рис.3).

Рис.3. Криволинейный дифференциально малый ортогональный шестигранник «01234567», у которого все углы прямые.

Рёбрами криволинейного дифференциально малого ортогонального шестигранника «01234567» на рис.3 служат координатные линии, которые описываются в естественном виде через длину линии, её радиус кривизны и кручение. Т.е. три взаимно ортогональные координатных линии определяются тройками (x,y,æ),,  и  где соответственно æ, σ и ζ – кручения линий. В точке 0 начала локальной системы координат соприкасающаяся плоскость третьей линии (l,ρ, ξ)  составляет угол θ с плоскостью 0yz локальной прямоугольной декартовой системы 0xyz. Линии всех трёх ортогональных друг другу семейств выбраны так, что они образуют грани ортогонального криволинейного шестигранника [4].

Очевидно, что поскольку линии «01»,«23»,«45» и «67» являются линиями тока, то количество сплошной среды, втекающей через грань «0246», равно количеству среды (расходу), вытекающей через грань «1357». И частицы, втекающие через грань «0462», те же, что и вытекающие через грань «1357». Так что, для такого шестигранника уже может быть справедливо уравнение движения Ньютона. В случае же использования координатных линий, не обладающих кручением, уравнения движения, составленные для дифференциально малого шестигранника, могут описывать лишь плоские и осесим­метричные течения [4, 6]. Но, как уже было доказано с использованием разных методов математического анализа (дифференциальной геометрии и тензорного анализа), точные решения уравнений Навье–Стокса могут иметь лишь два типа плоских траекторий движения – это прямые линии или окружности [4, 7]. Но этот факт полностью игнорируется, например, при составлении программ для применения численных методов решения уравнений Навье–Стокса и неявно считается, что всё дело в быстродействии и размере памяти компьютеров. И до сих пор, несмотря на использование многочисленных различных численных методов, лежащих в основе очень модных и рекламируемых (и дорогих) сейчас пакетов программ MSC/NASTRAN, CFX, FLUENT, STAR-CD, LS-DYNA, ANSYS, ABAQUS, FlowVision, MSC/MARC, MAGMASOFT, SolidWorks, Сosmos и др. (в которых используются как метод сеток, так и метод конечных элементов), не удаётся получать достаточно точные результаты, т.к. в основе их лежат уравнения Навье–Стокса, которые, как показано выше, не являются достаточно точной моделью вязкой жидкости. Всего таких пакетов программ в настоящее время известно уже около двух десятков и их число с каждым годом растёт, что уже само по себе свидетельствует о том, что ни один из упомянутых продуктов не имеет преимуществ перед другими, по крайней мере, при решении уравнений Навье–Стокса. А между тем решение этих уравнений объявляется иногда очень важным, например, «шестой задачей тысячелетия»; «… поиск решений уравнений Навье–Стокса в трёхмерном пространстве при синтезе сложных технических задач, оптимизации конструкции и управления процессами»[8]. Проблема достаточно важна и поэтому далее опишем метод получения точного аналитического решения уравнений Навье–Стокса.

К сказанному можно добавить рассмотрение уравнений Навье–Стокса в векторной записи, которая выглядит следующим образом [1]

.

Здесь: rot и grad – операторы теории поля, которые могут быть выражены через коэффициенты Ламэ. Эти коэффициенты принципиально не содержат кручения линий, ρ – плотность среды, v – кинематическая вязкость среды.

Таким образом, уже векторная форма записи уравнений Навье–Стокса свидетельствует о том, что описываемые этими уравнениями течения не могут иметь траектории с ненулевым кручением. То же самое справедливо и в отношении уравнений магнитоэлектродинамики Максвелла.

Уравнения Навье–Стокса при формально математическом рассмотрении их относятся к нелинейным уравнениям в частных производных, общая математическая теория решения которых до настоящего времени отсутствует. Решение их не известно. Это приводит к различным предположениям вплоть до мистического характера [4].

Однако вопрос состоит в том, может ли какое-то уравнение описывать больше физических явлений, с большим количеством зависимостей по сравнению с теми, которые использованы при выводе этих уравнений? И иногда достаточно известные специалисты считают, что такое возможно. В качестве примера сошлёмся на весьма популярные в прошлом веке так называемые «Фейнмановские лекции по физике» американских лауреатов Нобелевской премии, в которых уравнения Навье–Стокса характеризуются так: «… наши уравнения для Солнца, например, представляющие его как водородный шар, описывают Солнце без солнечных пятен, без зернистой структуры его поверхности, без неровностей и короны. Тем не менее всё это действительно находится в уравнениях, только у нас нет ещё способа вытащить их оттуда… Сегодня мы не можем увидеть в уравнениях потока воды такие вещи, как спиральное строение турбулентности, которое мы видим между вращающимися цилиндрами. Сегодня мы не можем сказать с уверенностью, содержит ли уравнение Шредингера и лягушек, и композиторов и даже мораль или там ничего похожего и быть не может. Мы не можем сказать, требуется ли что-либо сверх уравнения, вроде каких-то богов или нет…» [4].

Можно указать, что роль ключиков, рекламируемого и используемого в настоящее время как универсального средства для «вытаскивания» из уравнений Навье–Стокса решений в настоящее время, как считается, играют роль уже упомянутые пакеты прикладных программ для проведения расчётов на ЭВМ (на компьютерах).

Дальнейшее изложение ведётся с использованием методов дифференциальной геометрии [5, 6], при чём всё рассмотрение можно разделить на чисто геометрическую часть, не содержащую  физического смысла движения жидкой частицы сплошной среды и гидромеханическую часть. Рассмотрение геометрических свойств ортогональной сети пространственных линий ведётся согласно изложенному в [6]. Движение среды считается установившимся, а среда несжимаема.

Вначале рассмотрим шестигранник, рёбрами которого служат вышеуказанные координатные линии, которые описываются в естественном виде через длину линии, её радиус кривизны и кручение. Т.е. три координатных линии определяются тройками (S, R, χ), (n, r, σ) и (l, ρ, ζ), где соответственно χ, σ и ζ – кручения линий (рис.3). Пусть в точке 0 начала локальной системы координат соприкасающаяся плоскость третьей линии (l, ρ, ζ) составляет угол θ с плоскостью 0yz локальной прямоугольной декартовой системы 0xyz. Пусть линии всех трёх ортогональных друг другу семейств выбраны так, что они образуют грани ортогонального криволинейного шестигранника. 

Повернём реперную тройку Френе кривой (S, R, χ) в точке 0 сначала на угол π/2 вокруг оси 0y против часовой стрелки и после этого на угол θ вокруг оси 0z по часовой стрелке. Тогда сопровождающая тройка векторов линии (S, R, χ) станет сопровождающей тройкой третьей линии (l, ρ, ζ).

Рассмотрим теперь отдельную линию, заданную радиусом кривизны R, длиной дуги S и кручением χ, причём ось 0x прямоугольной локальной координаты направлена по касательной к линии, а ось 0y – по нормали. Спрямляющая плоскость линии таким образом совпадает с плоскостью локальной декартовой системой координат 0xy. Отсчитывая приращение дуги ΔS от начала координат и обозначая базисные векторы системы локальной декартовой системы координат через (i, j, k), имеем следующее разложение радиуса-вектора  точки «1» в степенной ряд Тейлора с точностью до малых четвёртого порядка [5, 6] в соответствии с направлением базисных векторов рис.3:

                       

.       (1)

Здесь:   R_S  – производная от радиуса кривизны R по длине дуги S.

Дифференцируя это выражение по длине дуги S, играющей роль параметра, получим выражение для касательного вектора в любой точки М₁ линии, которое с точностью до малых третьего порядка имеет вид [5]:

 

.     (2)

Здесь   Τ – единичный касательный вектор в точке «1».

     (3).

      Где n₁- единичный вектор нормали в точке "1".

Вектор бинормали b₍₁₎ в точке «1» находится как результат векторного произведения касательного вектора и вектора нормали:

.     (4)

Непосредственным перемножением можно убедиться, что найденные векторы (2), (3) и (4) трёхгранника Френе в точке «1» ортогональны с точностью до малых второго порядка относительно длины дуги ΔS. В дальнейшем будем вычислять радиусы-векторы точек вплоть до малых третьего порядка, а направляющие векторы – до малых второго порядка. Это обеспечивает непрерывность значений ускорений при движении материальных точек вдоль линии (S, R, χ). Тем самым выполняется требование того, что движение жидких частиц происходит без ударов, которые неизбежно должны иметь место при использовании дискретных методов. 

Рис.4. К выводу соотношений для сторон дифференциально малого

криволинейного прямоугольника «0123» [6].

Далее рассмотрим два семейства линий, одно семейство I(S,R,χ) и второе, ортогональное ему с точностью до малых второго порядка, семейство (n,r,σ). Касательная к линии второго семейства направлена по нормали к линиям семейства (S, R, χ) как в точке «0», так и в точке «1», как это представлено на рис.4. При таком условии выражение для радиуса-вектора точки «2» аналогично (1) будет иметь:

,     (5)

.     (6)

,     (7)

.      (8).

Здесь , ,  – единичные касательные векторы второй кривой (n, r, σ) в точке  «2»,  – первая производная от радиуса кривизны и  – первая производная от кручения (n, r, σ) по дуге n.

Рассмотрим условия пересечения двух семейств линий, образующий криволинейный ортогональный четырёхугольник «0123» – рис.4. При построении этого четырёхугольника будем считать, что все его углы (с точностью до малых второго порядка) – прямые. Тогда имеем:

.     (9)

Здесь  – первая производная от кручения кривой (S, R, χ) по дуге S.

Отсюда величина радиуса-вектора точки «3» относительно точки «1» будет в соответствии с (1) с точностью до малых третьего порядка равна:

 (10)

Значение радиуса–вектора точки «3» в локальной декартовой системе координат 0xyz определяется как сумма векторов (1) и (10) – рис.3. Дифференцируя эту сумму по длине дуги Δn найдём значение касательного вектора к линии второго семейства в точке «2» в виде:

 

     (11)

Согласно принципу построения четырёхугольника «0123» базисные векторы кривой (S, R, χ) в точке «2» будут следующими:

     (12)

С помощью найденных опорных векторов (10) и (12) находим величину вектора точки «3»  относительно точки «2», при этом используя обычное разложение радиуса-вектора по ортам [5, 6]:

.     (13)

Значение радиуса-вектора точки «3» относительно начала координат определяется как сумма векторов точки «1» и точки «3» относительно точки «1». Однако то же самое значение радиуса-вектора точки «3» определяется как сумма радиусов-векторов точки «2» и точки «3» относительно точки «2», т.к.

.      (14)                                                     

Подставляя сюда значения векторов из (1), (10), (6) и (13) получим, что это равенство выполняется вплоть до малых второго порядка при условиях:       

.      (15)

Если же потребовать выполнение равенства (14) вплоть до малых третьего порядка, то получим следующие равенства (это коэффициенты при членах разложения соответственно ΔS²Δn и ΔSΔn²):

.     (16)

   Здесь  и  – производные по соответственно длинам S и n. С учётом (15) можно записать:

.     (17)

Из (16) и (17) следует, что если кручение линии тока постоянно вдоль линии, т.е. если c= const и при этом c ≠ 0, c ≠ 0. то 1/r = 0. Другими словами тогда одна из трёх семейств линий, образующих ортогональную сеть, представлена прямыми линиями. Рассмотрение ортогональной системы линий в виде правых и левых винтовых линий на поверхности прямого кругового цилиндра, как показано далее, подтверждает этот вывод.

Теперь рассмотрим криволинейный ортогональный шестигранник «012345» – рис.3. Соответственно разложению (1) для ребра этого шестигранника, образованному линией третьего семейства (l, ρ, ζ) получим следующе≠≠≠е выражение для радиуса вектора точки «4»  с точностью до малых третьего порядка:

 

.     (18)

     Здесь – производная от радиуса кривизны ρ кривой третьего семейства по длине дуги l. Дифференцированием этого выражения находим векторы третьей кривой семейства (l, ρ, ζ) в точке «4»:

 

.

     (19)

 

     Все эти векторы ортонормированы вплоть до малых второго порядка. Далее воспользуемся разложением в степенной ряд для выражения угла Ɵ в точке "4":

    С учётом этого получим в соответствии с правилами преобразования реперных векторов первой кривой в точке «4»: 

,

.     (20)            )

 

Здесь ρ^I_l  - производная от радиуса кривизны третьего семейства линий по  длине l.

Аналогично могут быть вычислены радиусы-векторы всех вершин шестигранника. как это сделано в [6]. Но соответствующие вычисления очень громоздки. Однако выражения (15) и другие могут быть получены и гораздо менее громоздким путём, изложенным далее. Для этого рассмотрим  криволинейный ортогональный четырёхугольник «0123» – рис.3. Проведём в ортогональном четырёхугольнике две линии «13^*» и «23^*», эквидистантные соответственно линиям «13» и «23». Эти линии вместе со сторонами четырёхугольника образуют криволинейные треугольники с острыми углами Δα₀₁ и Δα₀₂ – рис.3. Из рассмотрения этих треугольников следует, что:

.     (21)

Эти выражения совпадают с полученными ранее (15). Но при рассмотрении  криволинейного ортогонального четырёхугольника «0123» можно получить и важное для дальнейшего правило смешанного дифференцирования по длинам дуг S и n. Для этого рассмотрим непрерывный скаляр ω(S, n, l). определяемый длинами дуг S, n и l: Тогда в точке «1»: значение этого скаляра будет равно с точностью ло малых второго порядка:

,

.

Здесь  и  – первая и соответственно вторая производные по  l и n.в точке "1".

В точке «3» значение скаляра определяется с учётом (21) и с точностью до малых второго порядка как:

    

.     (22)

Здесь ∆n₁₃  и  ∆S₂₃   дифференциально малые длины дуг между точками "!", 2" и "3".

С другой стороны значение того же скаляра в точке «3» можно определить и через промежуточное значение в точке «2», в которой значение скаляра равно:

 ₂(0, n ,0) = ( 0,0,0) + _n ^I(0,0,0)n  + _nn ^II(0,0,0)n² /2  + …

Тогда в точке «3» значение этого скаляра, определяемое через промежуточную точку «2», будет, равно:

.

В точке «3» значение скаляра по отношению к начальной точке «0» с учётом (21) окончательно определяется как:

.     (23)

Сравнивая выражения (22) и (23) найдём следующее соотношение (очень важное при поиске решения уравнений Навье–Стокса):

.     (24)

Это выражение показывает отличие правила перекрёстного (смешанного) дифференцирования вдоль кривых линий в криволинейной системе координат от правила смешанного дифференцирования при использовании прямоугольной декартовой системы координат. Очевидно, что при 1/R = 0; 1/r = 0, т.е в декартовой системе координат, (24) переходит в обычную зависимость.

Выражение (24) позволяет получить соотношение между радиусами кривизны линий плоской ортогональной сети. Пусть ω = α(S, n) – угол наклона касательной линии сети к оси локальной системы координат «0xy». Тогда согласно рис.3:

.                                                    (25)

Подставляя в формулу (24) значения углов поворота касательных к линиям (S, R, χ), (n, r, σ) получим соотношение между радиусами кривизны ортогональной плоской сети:

.                                                       (26)

Данное соотношение выражает условие «гладкости» сети или так называемое «геометрическое условие». В работе T.C.Сью [7] эквивалентное этому соотношения (выраженное в терминах тензорного анализа) именуется «геометрическим условием совместности», необходимым для того, чтобы «координаты представляли физическую систему в евклидовом пространстве должны быть ограничения. Необходимое и достаточное условие состоит в том, что тензор Римана–Кристофеля, образованный метрическим тензором координат был равен нулю". Требование того, чтобы тензор  был равен нулю, и порождает «геометрическое условие». Именно учёт «геометрического условия» согласно T.C.Сью является тем условием, которое позволяет однозначно решать уравнение Навье–Стокса.

     Более подробно связь между локальной криволинейной системой координат, коэффициентами Ламэ и применением тензорного аппарата изложена в [6]. Можно отметить, что в работе Н.Е.Жуковского [8], посвящённой анализу движения жидкости, также рассматривается локальная система координат, но в самом общем виде и в ней, к сожалению. отсутствуют выражения (24) или (26), важные, как будет ясно из дальнейшего, при поиске общих решений уравнений Навье–Стокса.

Теперь рассмотрим четырёхугольники, образованные сторонами «0145» и «0246» криволинейного шестигранника – рис. 4.

Рис.5. Четырёхугольники, образованные проекциями сторон «0145» и«0246» дифференциально малого шестиугольника на локальные координатные плоскости «0xz» и «0yz».

Рассмотрим правый на рис.5 четырёхугольник. Поскольку линия «01» лежит в соприкасающееся плоскости, то она отклоняется от координатной плоскости 0xy на малую второго порядка, а линия «04» по построению шестиугольника не лежит в какой либо координатной плоскости. Поэтому, проводя в криволинейном четырёхугольнике линии «45^*» и «15*», эквидистантные линиям «01» и «04», получим, как и ранее с помощью криволинейных треугольников, что длина линии «15» выражается через длину линии «04» согласно правому рис. 5 как:

.      (27)                            

Из рассмотрения левого четырёхугольника рис.4 получим соответственно:

.     (28)                             

Теперь рассмотрим непрерывный скаляр, определяемый длинами дуг ω(S, n, l). Тогда в точке «1»: значение этого скаляра будет равно:

.

В точке «5» (рис.5) значение этого же скаляра определяется с учётом (28) как:

 

.

А согласно правому четырёхугольнику рис.5 имеем:

.     (29)

Приравнивая (29) и (30) получим правила смешанного дифференцирования по длинам дуг «n» и «l»

.      (30)                                                       

Аналогично из рассмотрения «четырёхугольника «0246» на рис.4 получим ещё одно правило смешанного дифференцирования:

.        (31)

Теперь рассмотрим соотношения для кручений всех трёх линий для чего рассмотрим поочерёдно три грани прямоугольного криволинейного ортогонального шестигранника – рис.6.

 

Рис.6. Характер отклонений от координатных плоскостей вершин шестигранника вследствие кручения линий, являющимися гранями шестигранника.

В соответствии с рис.6 для совпадения положений точки «3» при следовании по сторонам «01» и «13» грани «0123» отклонение от плоскости «0xy» вследствие кручения линии «01» и отклонение той же точки «3» при следовании по сторонам «02» и «23» должно соблюдаться равенство:

.     (32)

Отсюда

.     (33)                                                              

Аналогично из рассмотрения граней «0145» и «0246» получим:

.     (34)

Сравнивая выражения (30) и (31) получим, что:

.        (35)                                                  

Таким образом отсюда следует, что существование строго прямоугольного шестигранника (для которого ортогональность граней соблюдается с точностью до малых второго порядка) с ненулевым кручением линий невозможно в силу требований геометрии. При условии (35) ранее найденные уравнения (16) и (17) удовлетворяются тождественно. Это означает, что строго ортогональная сеть может существовать лишь для осесимметричных ортогональных сетей линий, а также для плоских сетей линий, для которых кручение линий равно нулю.

Иными словами ортогональными с точностью до малых второго порядка сети линий могут иметь в своём составе лишь только одну линию, обладающую ненулевым кручением. При этом . Таким образом при локальном рассмотрении линий тока сплошной среды (или, более общо, семейств линий главных напряжений в твёрдом теле) приходится сделать вывод, что параметры линии тока подчиняются закономерностям, которые не связаны со свойствами сплошной среды, а имеют самостоятельное геометрическое значение.

Поскольку более подробно этот вопрос разобран в [6], то в силу громоздкости относящихся сюда выкладок и с учётом того, что он целиком относится к области геометрии, перейдём к задаче механики: к задаче получения общего решения уравнений Навье–Стокса. Эти уравнения в локальной системе натуральных координат могут быть записаны в виде [6]:

,

,

.     (36)

Здесь p – давление; ρ₀ – плотность среды; U – скорость течения; S, n, l – длины трёх координатных линий, имеющих радиусы кривизны соответственно R, r, ρ, причём первой координатной линией служат траектории движения, а второй – перпендикулярной к ней и проходящей через касательную в данной точке и нормаль к траектории. Все координатные линии лежат на гранях трёхгранника Френе; t – время;  – обозначение для краткости; θ – угол между соприкасающейся плоскостью третьей координатной линии с плоскостью 0xy локальной системы декартовых координат в точке "0"; ρ – радиус кривизны третьей координатной линии; v – кинематическая вязкость жидкости; , ,  – потенциальные внешние силы (например, силы тяжести); П – потенциал внешних сил.

Уравнения (36) для случая движения в одной плоскости, при котором все производные по третьей координате равны нулю, т.е. при

,

с точностью до обозначений совпадают с выражениями, приводимыми Милн–Томсоном [9], полученных им с использованием комплексных переменных для течения вязкой жидкости. А для случая невязкой (идеальной) жидкости, т.е. при v = 0, совпадает с уравнениями, приведёнными в учебнике Френкеля [3].

Помимо указанных уравнений равновесия сил давления (36) в случае несжимаемой среды нужно учитывать  условие неразрывности (непрерывности) среды, которое  записывается в криволинейной системе координат как [6]:

     (37).                                                           

Чтобы убедиться в этом необходимо сравнить, используя при этом (15) и (27), количество втекающей со скоростью U жидкости через площадь ΔnΔl грани «0246» на рис.2 криволинейного шестигранника и количество вытекающей жидкости через грань «1357» со скоростью  и площадью (Δl₁₅Δn₁₃).

Далее вначале для простоты рассмотрим случай плоских движений, у которых все производные по третьей координате l равны нулю. Кроме того, у них 1/ρ = 0. Для простоты рассмотрим только установившиеся течения. Система (33) тогда приобретает вид:

,

 

.     (38)

Уравнение неразрывности (37) для рассматриваемого случая имеет вид:

       (39)                                                                   

Важно, что это уравнение неразрывности для последовательных производных в соответствии с правилом смешенного дифференцирования (24) позволяет получить ряд соотношений:

,

,                                                                               

     (40)

            Здесь для краткости и соответственно (26) введено обозначение: .

Эти равенства (40) могут рассматриваться как формулы понижения порядка дифференцирования по «S». Обобщённое уравнение движения, которое можно назвать «основным», может быть получено (после перекрёстного дифференцирования (38) и исключении давления «p» при применении правила смешанного дифференцирования) с использованием (40) в виде:

,      (41)                                      

Продифференцируем уравнение (41) по «S», а затем, используя (40), понизим его порядок на единицу. Тогда получим, выписывая для краткости лишь члены со старшими производными, уравнение, которое назовём «преобразованным» в виде:

,     (42)                      

Полученное уравнение (42) можно рассматривать как исходное (41), но подвергнутое линейному преобразованию. В результате этого возможны следующие варианты: во первых, преобразованное уравнение (42) может быть тождеством вследствие равенства нулю всех коэффициентов при значениях производных от скорости. Тогда, согласно [6] это течения c прямолинейными траекториями.     

Вторая возможность состоит в том, что уравнения (41) и (42) представляют одно и то же уравнение, коэффициенты которых пропорциональны друг другу. Ранее в [6] эти возможности были проанализированы и при этом был сделан вывод, что других вариантов для траекторий, помимо движений по прямым линиям и по окружностям, нет. Таким образом для плоских течений возможны только два варианта течений – вдоль прямых линий и по окружностям.        Этот вывод полностью совпадает с выводом, сделанным T.C. Сью, и полученным им на основании точного решения уравнений Навье-Стокса для двумерных установившихся течений [7]. В работе T.C.Сью применяется исключительно аппарат тензорного анализа.

Следует отметить, что указанное сравнение уравнений (41) и (42) может иметь место лишь при условии, что скорость U течения не принимает неопределённо больших значений и не имеет скачкообразных изменений. В связи с этим необходимо уточнить, что можно считать точным решением уравнений Навье–Стокса. В данной статье считается, что эти уравнения должны представлять собой физическую задачу, а не формально математическую. Т.е. описываемое уравнениями течение должно быть наблюдаемо. Если же допускать, что в рассматриваемой области скорость течения может принимать неопределённо большие значения, то такие течения не могут быть наблюдаемы. Поэтому описанный метод рассмотрения возможных решений уравнений Навье-Стокса как бы «автоматически» отсекает возможность получения решений с бесконечно большими значениями скоростей течения в некоторых областях и, тем самым, ненаблюдаемыми.

Теперь вернёмся к решению уравнений (36) в общем, трёхмерном случае. Согласно зависимостям (37) и правилам (24), (31) и (32) из (37) можно получить следующие выражения, позволяющие понижать порядок производных при смешанном дифференцировании:

,

,

,

,

,

,

,

.     (43)

Здесь для краткости введено обозначение:

,       (44)     

Далее изложим схему действий, которая повторяет уже использованную для двумерного случая,  не всегда выписывая полностью коэффициенты уравнений в силу их громоздкости.

С учётом (44) соотношений и правила перекрёстного дифференцирования (24), используя первое и второе уравнения из (36), получим после ряда преобразований, что для установившегося течения имеет место следующее уравнение движения в координатах «n–l» (которое назовём «основным»).

.

Это уравнение не содержит члена вида . Подвергнем это «основное» уравнение линейному преобразованию, для чего продифференцируем его сначала по «S» и затем понизим порядок уравнения, используя формулы понижения порядка (37) и (44). Тогда получим новое уравнение, которое, как и ранее, назовём,в отличие от «основного»,  «преобразованным». Это уравнение имеет вид:

.

Полученное линейным преобразованием «преобразованное» уравнение (46) либо есть тождество, все коэффициенты которого равны нулю, либо представляет собой исходное уравнение. Другими словами, если «основное» и «преобразованное» уравнения схематически представить в виде уравнений с десятью членами:

,

,.

то либо, (при условии, что производные по дуге «l» не равны тождественно нулю) все b_i = 0, либо коэффициенты пропорциональны:

.

У «основного» уравнения (45) коэффициенты при старших производных  и  равны (если только  не равно нулю). Поэтому и у «преобразованного» уравнения они должны быть равны. Отсюда должно выполняться, согласно (44) соотношение:

.

Т.е. должно соблюдаться геометрическое равенство: . Кроме того, у «преобразованного» уравнения появляется член , который отсутствует у «основного» уравнения. Это следует из равенства, вытекающего из правила перекрёстного дифференцирования (31), а именно из того, что:

Поэтому, поскольку a₅ = 0, то должно быть и b₅ = 0, Отсюда:

.

      Отсюда следует, с учётом геометрического равенства, что должно быть:

.

Но эти равенства противоречат условию построения произвольной пространственной сети. Более подробный анализ соотношений коэффициентов уравнений (45) и (46) свидетельствует о том, что должно быть  = 0,  = 0. Но такие равенства справедливы только для осесимметричной сети.

В любом случае полученный результат означает, что скорость и сама сеть не меняются вдоль третьей линии (l, ρ, ζ). А это может иметь место, и это следует подчеркнуть, лишь для осесимметричных сетей линий и, соответственно, осесимметричных течений среды. Здесь можно указать, что с помощью правил перекрёстного дифференцирования (31) и (32) можно получить помимо (45) и (46)  ещё два вида «основных» и соответственно «преобразованных» уравнений. Однако их исследование не позволяет сделать существенно новых заключений о свойствах пространственных ортогональных сетей, хотя и позволяют определить ряд соотношений для осесимметричных сетей, которые должны удовлетворять аналитическим решениям уравнений Навье–Стокса.

На основании изложенного приходится принять, что для пространственной сети скорость течения не меняется по третьей координате «l». Поэтому отсюда следует вывод о том, что уравнения Навье–Стокса в случае трёх измерений описывают не любые, а только осесимметричные течения. Таким образом уравнения Навье-Стокса могут точно описывать лишь двумерные траектории течения.

Дополнительно можно ответить на вопрос; если точными решениями уравнений Навье-Стокса могут служить лишь двумерные течения, то как же тогда удаётся получать решения с трёхмерными граничными условиями с помощью численных методов при использовании пакетов прикладных программ типа VSC/NASTRAN, CFX,  FLUENT  и др.? 

По мнению автора такое становится возможным вследствие влияния так называемой сеточной вязкости, которая появляется вследствие погрешностей округления при использовании численных методов.   Существование сеточной вязкости обусловлено самой

сутью численных методов. Дело в том, что уравнения Навье-Стокса включают квадратичный член скорости, а поэтому погрешность вычисления удваивается при возведении скорости в квадрат. Т.е. в процессе вычислений погрешность может неуправляемо меняться. С физической точки зрения это можно истолковать как изменение вязкости сплошной среды в её различных областях.. Тем самым происходит подмена свойств сплошной среды.

Наконец рассмотрим условия, при которых траектории всё-таки могут иметь ненулевое кручение. Как показано в более ранней работе [6], сети имеющие линии с ненулевым кручением могут существовать, но при условии ортогональности сети линий с точностью лишь до первого порядка. Кручение для линий ортогональной сети оказывается возможным, если принять, что при перемещении вдоль линии «02» направляющая тройка векторов Френе третьего семейства линий (l, ρ, ζ) получает дополнительное кручение . Так что общее кручение направляющей тройки векторов в точке «2» оказывается равным .Отсюда, учитывая ранее полученные соотношения, получим: , а кручение σ уже может не быть равным нулю – рис.7.

   

Рис.7. Искажение прямых углов в вершинах хотя бы одной из боковых граней прямоугольного шестигранника в случае ненулевого кручения линий тока, т.е при условии .  – дополнительное кручение линий третьего семейства (l, ρ, ζ) относительно линий второго семейства (n, r, σ).

Однако при этом для грани «2367» получим уже неизбежную при неравенстве кручения нулю нестрогую ортогональность и угол «326» на рис.6 отличается от прямого на величину первого порядка малости – 2χΔn. Т.е. этот угол является уже не прямым, а острым углом. В [6] для пояснения этого рассмотрена ортогональная сеть, образованная правыми и левыми винтовыми линиями, расположенными на поверхности прямого круглого цилиндра. Роль третьего ортогонального семейства линий играют прямые линии, пересекающие ось цилиндра под прямым углом. Для такой сети с кручёными линиями все ранее найденные геометрические соотношения для линий с ненулевым кручением удовлетворяются. Отметим, что при этом для прямых линий приходится принимать ненулевое значение кручения. Т.е. приходится считать, что прямые линии имеют кручение, определяемое кручением винтовых линий первого семейства (S, R, χ). При указанной форме (при нестрогой ортогональности некоторых граней) уже становится возможным определить крутящий момент внешних сил, действующих на жидкий шестигранник. И, следовательно, получить уравнение для движения элементарного шестигранника с учётом его вращения. Но это уже выходит за рамки заявленной темы.

Как на главный вывод из изложенного можно указать на определяющую роль геометрических параметров ортогональных сетей, которые лежат в основе уравнений движения сплошной среды и которые определяют вид уравнений движений. Геометрические условия и ограничения для траекторий движения жидких частиц, определяемые свойствами пространства Евклида, неявно входят и в уравнения Навье–Стокса, на что обращается внимание в работе T.C.Сью [7], но это обстоятельство не учитывается при численных методах решения уравнений движений сплошных сред а также при составлении уравнений равновесия частиц сплошной упругой среды.

Для иллюстрации изложенного рассмотрим криволинейную ортогональную сеть, образованную правыми и левыми спиралями на поверхности кругового цилиндра и прямыми линиями, ортогональными к оси цилиндра– рис. 13. Семейство правых винтовых линий может быть описано параметрически в виде [2,9]:

Р_I = (a cos t) i + (a sin t) j + (b t) k.                                                                       (8)   

Здесь: Р_I, I , j, k – соответственно полярный радиус-вектор точек правой винтовой линии и базовые векторы декартовой системы координат 0XYZ.         

                          

Рис.13. Ортогональная сеть, образованная винтовыми линиями на поверхности цилиндра и семейством линий, ортогональных к оси цилиндра.

a – радиус цилиндра, b – постоянная, определяющая шаг правого винта, равный 2π b, для линий на цилиндре, где π  = 3,4159…, t – параметр. Пусть значение параметра  t  кривой семейства «01» (т.е. правой спирали на рис.14) равно нулю в начале локальной декартовой системы координат. Касательный вектор равен (₸₁ (0)  –  касательный вектор линии в точке «0» при t = 0):

₸_I (0) = (a ² + b ²) ^-1/2(a  j + b k)  единичный, что следует из равенства его скалярного квадрата единице. Касательный вектор ₸ _I  линии «23»  в точке  «2»  равен:   

₸_I (2) = (a –a)  ² + b ²) ^-1/2(a  –a ) j + b k).                                    

Здесь a  – приращение дуги линии «02», причём n =  –a = dn. Кручение и радиус кривизны спирали «01» определяются согласно известным формулам [9] как:= + b/(a ² + b ²). Радиус кривизны спирали равен R = a + b²/a. Угол между векторами ₸_I(0) и ₸_I(2) можно определить через значение их скалярного произведения, но более наглядно его можно определить иначе, рассматривая развёртку боковой поверхности цилиндра, представленного на рис. 12, как это показано на рис.14.

                                       

Рис.14. Развёртка боковой поверхности кругового цилиндра, представленного на рис.13.

Спиральная линия "01" рис.13 будет соответствовать на рис.14 линии "0А", а угол между касательным вектором спиральной линии в точке "0" и локальной координатной плоскостью "0XY" обозначен как угол φ. Для точки "2" рис.14 значение радиуса равно (a - da), а угол между касательным вектором и координатной плоскостью равен φ + dφ. С учётом этого значение тангенса угла φ + dφ согласно рис.16 равно: tg(φ + dφ) = b/( a - da). С учётом формулы для тангенса суммы углов и с учётом дифференциальной малости приращений из написанного равенства получим следующее соотношение для приращений: dφ = b/(a² + b²)da. Сравнивая это выражение для поворота касательного вектора спирали на поверхности кругового цилиндра с полученным значением поворота касательного вектора в общем случае, рассмотренным выше (в котором кручение линии тока обозначено через ), можно сделать вывод, что они с точностью до обозначений тождественны.

Угол поворота касательного вектора для левой винтовой линии на поверхности цилиндра можно также определить с помощью рассмотрения  развёртки, представленной на рис. 14, на которой линия "0B" соответствует левой спирали "04" рис.13. Повторяя аналогично изложенному вычисление тангенса угла α + dα наклона касательного вектора к отрицательному направлению оси "0X" получим следующее соотношение  для  приращений:  d α = - b_III/(a² + b_III ²)da. С чётом зависимости b_III  = a/b² отсюда получим:(где b_III  - кручение линий третьего семейства):  

d α = - b/(a² + b²)da.

Таким образом приходится принять, что для случая рассматриваемой сети прямые линии имеют при построении сети кручение, равное = - . Эти прямые линии пересекают ось цилиндра а также спирали под прямым углом и служат при построении рассмотренной сети в качестве второго семейства линий.

 Выражение для кривых третьего семейства линий в качестве левых спиралей на поверхности цилиндра и ортогональных спиралям первого семейства, найдём, принимая во внимание то, что для третьего семейства имеем  b_III  = - a ²/b. Отсюда получим, что:

Р _III(µ)  = (a cos µ) i + (- a sin µ) j + b_III  µ k, где b_III  = - a ²/b.  

Здесь µ- параметр для линий третьего семейства. В начальной точке при t = 0 также µ = 0. Касательный вектор третьего семейства, вычисляемый аналогично предыдущему, оказывается равен: 

  ₸_III (0)= (a ² + a ²/b) ^-1/2( a j + b_III k).

Соответственно касательный вектор кривой «26» в точке «2» равен:

₸_III(2) = (a ² + a ²/b) ^-1/2 [( а -da ) j -  (a ²/b) k)],

Угол поворота этого вектора при переходе из точки «0» в точку «2» определяется либо рассмотрением развёртки на рис.16, либо скалярным произведением касательных векторов как:

₸_III(0)₎٬₸_III(2)  = 1 – b² a²  [2(a ² + b ²) ²]= 1 - ²dn²/2.

Поворот касательного вектора ₸_III происходит на тот же угол, что и вектора ₸₁, но в противоположную сторону. В итоге угол между векторами ₸_III(0) и ₸_III(2) третьего семейства отличается от прямого на величину π/2 - 2dn, как это показано на рис.15. В результате при движении вдоль прямой к оси цилиндра угол между двумя спиралями становится всё более острым. Поэтому получить ортогональный с точностью до малых второго порядка параллелепипед с гранями, обладающими кручением, невозможно, что и следует из предыдущему геометрического анализа.

                                

Рис.15. Проекция грани "2367"  на координатную плоскость 0XZ 

Для третьего семейства ортогональной сети линий согласно известным формулам [9] для радиуса кривизны R _III третьего семейства линий и их кручения  получим: R _III = – b² /[a (a ² + b ²)],  = –  b / (a ² + b ²),

Итак, линиями второго семейства служат прямые, пересекающие ось цилиндра под прямым углом, для них 1/r = 0.  С учётом этого имеем следующую систему равенств для характеристики семейств линий рассматриваемой ортогональной пространственной сети:

R = a + b ²/а; 1/r = 0;  = + b/(a ² + b ²);  = - ; = π;  _l ^I = 0;

Можно убедиться, что эти выражения для сети, образованной с помощью кругового цилиндра, удовлетворяют общим соотношениям для ортогональных сетей, полученных ранее.

В результате  рассмотренного характера кручения прямых линий (второго семейства) ортогональной сети выяснено, что с точностью до малых второго порядка малости относительно размера грани строгая ортогональность всех граней прямоугольного криволинейного параллелепипеда оказывается нарушена. В рассмотренном примере грань «2367» на рис. 11 принимает вид, аналогичный виду, представленного на рис. 15, с повёрнутым на угол  = -dn ребром "26". В качестве других примеров ортогональных пространственных сетей, включающих семейство прямых линий укажем на сеть линий на поверхности сферы, образованной семействами параллелей и меридианов а также радиусами. В качестве ещё одного примера можно привести семейства правых и левых спиралей на поверхности прямого кругового конуса и семейства прямых, пересекающих ось конуса [8,9].

Литература

1.      Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. Издание четвёртое. М.: Наука, 1973.- 848с.

2.      Палагин Э.Г., Славин И.А. Основы гидромеханики. Учебное пособие для метеорологов. Л.: Ленинградский гидрометеорологическиий институт, 1974.

3.      Френкель Н.З. Гидравлика. Учебник для вузов. М.-Л.: Госэнергоиздат, 1956.

4.      Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс Н. Фейнмановские лекции по физике. Том 7. Физика сплошных сред. М.: Мир, 1966.

5.      Погорелов А.В. Линейная алгебра и дифференциальная геометрия. М.: Наука, 1979.

6.      Выскребцов В.Г. Гидромеханика в новом изложении. М.: Спутник +, 2001.

7.      Su T.C. Obtaining the exact solutions of the Navier–Stokes equations//Int. J. Non-Linear Mechanics. 1985. V.20. №1. P.9–193.

8.      Жуковский Н.Е. Гидродинамика. Собрание сочинений. Магистерская диссертация. Том 2. М.-Л.: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1949.

9.      Выскребцов В.Г. Новые точные решения уравнений Навье–Стокса для осесим-метричных автомодельных течений жидкости//Математические методы и физико-математические поля, 1998. Т.41. №3.

10.  Выскребцов В.Г. Установившееся течение вязкой жидкости при входе в трубу//Известия МГТУ «МАМИ», серия 3. Естественные науки, 2013. Т.3. №1(15).

11.  Темам Р. Уравнения Навье–Стокса. Теория и численный анализ. М. Мир, 1981.

12.  Бобылёв Д.К. О перемене координат в дифференциальных уравнениях динамики. Записки Императорской Академии Наук. Приложение к LVIII т. 1888.

13.  Выскребцов В.Г., Корнейчук Л.Г., Пухлий В.А. О пакетах прикладных программ для проведения гидро-аэродинамических расчетов энергоблоков АЭС. Материалы 3-й МНТК «Инновационные проекты и технологии ядерной энергетики», М., НИКИЭТ им. Доллежаля, 2014. с.225-233.

14.  Выскребцов В.Г., Пухлий В.А., Померанская А.К. К вопросу об эффективности использования пакетов прикладных программ в расчетах гидродинамических процессов. Материалы 10-й МНТК «Обеспечение безопасности АЭС с ВВЭР». Подольск: ОКБ «Гидропресс», 2017. С.17-20.

15.  Назаров Г.Н., Пучкова Н.Г. Вязкий сток в несжимаемой жидкости//Гидромеханика, выпуск 52. Киев, 1986.